Question

(本小题满分15分)
在等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅是等比数列{b_n}的前三项．
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）b_n=3^{n－1；（2）}（2）S_n=(n－1)·3ⁿ+1

本试题主要是考查了数列的概念，和数列的求和，尤其是等差数列和等比数列的性质的运用，以及利用错位相减法求解数列的和的思想的综合运用。
（1）根据已知的项之间的关系式，运用基本元素表示得到数列的通项公式的求解
（2）结合第一问中的结论，得到c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，的通项公式，分析通项公式的特点，选择错位相减法求解数列的和。
解: (1)由a₁，a₂，a₅是等比数列{b_n}的前三项得，
a₂²= a₁·a₅⇒(a₁+d)²=a₁· (a₁+4d)                            ········ 2分
⇒a₁²+2a₁d+ d² = a₁²+4a₁d⇒d² =2a₁d，又d≠0，所以d=2a₁=2，
从而a_n= a₁+(n－1) d=2n－1，                            ·········· 5分
则b₁= a₁=1，b₂= a₂=3，
则等比数列{b_n}的公比q=3，从而b_n=3^n－1．               ··········· 7分
(2)由(1)得，c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，                       ········ 8分
则S_n= 1·1+3·3+5·3²+7·3³+…+(2n－1)·3^n－1               ①
3S_n=    1·3+3·3²+5·3³+…+(2n－3)·3^n－1+(2n－1)·3ⁿ       ②  ······· 10分
①－②得， －2S_n= 1·1+2·3+2·3²+2·3³+…+2·3^n－1－(2n－1)·3ⁿ 
=1+2×－(2n－1)·3ⁿ=－2 (n－1)·3ⁿ－2             ······· 13分
则S_n=(n－1)·3ⁿ+1．                                    15分