Question

已知双曲线C：2x²－y²＝2与点P(1,2)．求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；

Answer 1

当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．

本试题主要是考查了直线与双曲线的位置关系的综合运用。根据已知中的曲线方程和点P的坐标，设出直线方程，然后联立方程组，进而结合方程有一个解，得到参数k的范围和参数k的值。
解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
代入双曲线C的方程，整理得
(2－k²)x²＋2(k²－2k)x－k²＋4k－6＝0(*)
当2－k²＝0，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．
②当2－k²≠0时，令Δ＝0，得k＝.此时只有一个公共点．
又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．
∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．