Question

已知f(α)=

sin(α- π 2 )cos( 3π 2 -α)tan(7π-α)

tan(-α-5π)sin(α-3π)

．
（1）化简f（α）；
（2）若tan(α-

3π

2

)=-2，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）把f（α）解析式中分子的第一个因式利用正弦函数为奇函数化简后，再利用诱导公式变形，第二个因式中的角

3π

2

-α变为为π+

π

2

-α，利用诱导公式变形，第三个因式利用诱导公式变形，分母第一个因式根据正切函数为奇函数化简，然后利用诱导公式变形，第二个因式先利用正弦函数为奇函数，再把角3π-α变形为2π+π-α，利用诱导公式变形，约分后即可得到最简结果；
（2）把已知式子中的角提取-1后，变为π+（

π

2

-α），利用诱导公式及正切函数为奇函数化简，得到tan（

π

2

-α）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，并利用诱导公式化简，得到sinα和cosα的关系式，记作①，同时得到sinα和cosα同号，即α为第一或第三象限的角，根据同角三角函数间的平方关系得到sin²α+cos²α=1，记作②，联立①②，求出cosα的值，代入化简后的f（α）的式子中，即可求出f（α）的值．

解答：解：（1）f（α）=

-sin( π 2 -α)cos(π+ π 2 -α)tan(7π-α)

[-tan(5π+α)][-sin(2π+π-α)]

…（2分）
=

-cosα[-cos( π 2 -α)]tan(-α)

(-tanα)(-sinα)

=

-cosα(-sinα)(-tanα)

(-tanα)(-sinα)

=

-cosαsinαtanα

tanαsinα

=-cosα；…（4分）
（2）∵tan(α-

3π

2

)=-2，
∴-tan（

3π

2

-α）=-tan（π+

π

2

-α）=-tan（

π

2

-α）=-2，
∴tan(

π

2

-α)=2，
∴

sin( π 2 -α)

cos( π 2 -α)

=

cosα

sinα

=2，
即sinα=

1

2

cosα①，…（6分）
可见sinα与cosα同号，α为第一或第三象限角，
又sin²α+cos²α=1②，…（8分）
联立①②可得：cosα=±

2 5

5

，
当α为第一象限角时，f（α）=-cosα=-

2 5

5

；…（10分）
当α为第三象限角时，f（α）=-cosα=

2 5

5

．…（12分）

点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦及正切函数的奇偶性，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键，同时注意利用sinα与cosα同号，判断出α为第一或第三象限角．