【题目】已知正项数列的首项
,前n项和
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是公比为4的等比数列,且
,
,
也是等比数列,若数列
单调递增,求实数
的取值范围;
(3)若数列、
都是等比数列,且满足
,试证明: 数列
中只存在三项.
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】
(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等差数列定义以及通项公式得结果,(2)先根据条件解得,再根据数列单调性得
恒成立,最后根据最值得结果, (3)先反设
超过
项,再通过方程组求解公比,通过矛盾否定假设,即得结果.
解:(1) ,故当
时
,
两式做差得,
由为正项数列知,
,即
为等差数列,故
(2)由题意, ,化简得
,所以
,
所以,
由题意知
恒成立,即
恒成立,所以
,解得
(3)不妨设超过
项,令
,由题意
,则有
,
即
带入,可得
(*),
若则
,即
为常数数列,与条件矛盾;
若,令
得
,令
得
,两式作商,可得
,带入(*)得
,即
为常数数列,与条件矛盾,故这样的
只有
项.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)对于,
为任意实数,关于
的方程
恰好有两个不等实根,求实数
的值;
(3)在(2)的条件下,若不等式在
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题中正确的个数①“,
”的否定是“
,
”;②用相关指数
可以刻画回归的拟合效果,
值越小说明模型的拟合效果越好;③命题“若
,则
”的逆命题为真命题;④若
的解集为
,则
.
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)
已知抛物线C的方程C:y2="2" p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为
(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设
:
,先由直线OA与
的距离等于
根据两条平行线距离公式得:
解得
,再根据直线
与抛物线C有公共点确定
试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为.
(2)假设存在符合题意的直线,
其方程为.
由得
.
因为直线与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直线OA到的距离
可得,解得
.
因为-1[-,+∞),1∈[-
,+∞),
所以符合题意的直线存在,其方程为
.
考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知椭圆:
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过椭圆左焦点
交椭圆于
,
为椭圆短轴的上顶点,当直线
时,求
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的半焦距为
,圆
与椭圆
有且仅有两个公共点,直线
与椭圆
只有一个公共点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过椭圆
的左焦点
,且与椭圆
分别交于
两点,试问:
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出该定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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