Question

已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ．

Answer 1

分析：首先分析对于（1）已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a，最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可．
对于（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ；首先解出h（x）的函数表达式，要求最值考虑到应用函数的导函数的性质，先求出h（x）的导函数h′（x），再分类讨论当a＞0和a≤0时的情况求出极小值即可．

解答：解（1）已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
则：f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，）
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵两条曲线交点的坐标为（e²，e）切线的斜率为k=f′（e²）=

1

2e

^，
所以切线的方程为y-e=

1

2e

（x-e²）；
（2）由条件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

- 

a

x

=

x -2a

2x

，
（Ⅰ）当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²，
所以当0＜x＜4a²时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a²）上递增．
所以x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
所以Φ（a）=h（4a²）=2a-aln4a²=2
（Ⅱ）当a≤0时，h（x）=

x

-alnx（x＞0），h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
综上知，h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞0）．

点评：此题主要考查利用导函数求区间极值的问题，这类综合性的题考查学生对综合知识的运用，所以学生要熟练掌握函数的基础知识．