Question

【题目】设命题p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命题q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0
（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围
（2）若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命题p：x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0为真命题，

则△=4（m﹣3）2﹣4≥0，

解得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）；

若命题q：x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0

则△=4（m+5）2﹣4（3m+19）＜0，

解得：m∈（﹣6，﹣1），

若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，

则命题p，q一真一假，

当p真q假时，m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞），

当p假q真时，m∈（2，4），且m∈（﹣6，﹣1），此时不存在满足条件的m值；

综上可得：m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞）

（2）解：若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，

若命题p，q全为假，则m∈（2，4），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

即m∈（2，4），

结合（1）的结论可得：

此时m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）

【解析】分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围．（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，进而可得满足条件的a的取值范围．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．