Question

函数f（x）=-x³+3x²在[-1，1]上的最大、小值分别为M和m，则

∫

M m

f（x）dx=

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求出函数的最大值和最小值，然后利用函数的积分公式即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=-3x²+6x，
由f′（x）=-3x²+6x=0得x=0或2，
∵x∈[-1，1]，
∴f′（x）=-3x²+6x=0的根为x=0．
当x∈（-1，0）时f′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x∈（0，1）时f′（x）＞0．此时函数单调递增，
∴x=0时，f（x）取极小值f（0）=0．
又f（-1）=4，f（1）=2
∴最大值M=4，最小值m=0，
∴

∫

M m

f（x）dx=

∫

4 0

（-x³+3x²）dx=(-

1

4

x4+x3

)|

4 0

=0，
故答案为：0

点评：本题主要考查积分的计算，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的积分公式．