Question

18．圆O：x²+y²=16与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），l₁，l₂是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A，B重合的动点）作此圆的切线，分别交l₁、l₂于C，D两点，且AD，BC两直线交于点M．
（1）设切点P坐标为（x₀，y₀），求证：切线CD的方程为x₀x+y₀y=16；
（2）设点M坐标为（m，n），试写出m²与n²的关系表达式（写出详细推理与计算过程）；
（3）判断是否存在点Q（a，0）（a＞0），使得|$\overrightarrow{QM}$|的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线CD上任意一点N（x，y），则$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PN}$，由此即可证明切线CD的方程为x₀x+y₀y=16；
（2）求出m，n，即可写出m²与n²的关系表达式；
（3）|QM|的最小值=|y_M|=2|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，由此即可得出结论．

解答 （1）证明：设直线CD上任意一点N（x，y），则$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{PN}$，
∴（x₀，y₀）•（x-x₀，y-y₀）=0，
∴x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0，
∵x₀²+y²₀=16，
∴x₀x+y₀y=16；
（2）解：圆O：x²+y²=16与x轴交于A（-4，0）、B（4，0），l₁、l₂是分别过A、B点的圆O的切线，
∴l₁：x=-4，l₂：x=4．
设P（4cosu，4sinu），过P的圆O的切线方程是xcosu+ysinu=4，
这切线交l₁于C（-4，$\frac{4+4cosu}{sinu}$），交l₂于D（4，$\frac{4-4cosu}{sinu}$），
AD的斜率=$\frac{1-cosu}{2sinu}$，BC的斜率=-$\frac{1+cosu}{2sinu}$，
AD：y=$\frac{1-cosu}{2sinu}$（x+4），BC：y=-$\frac{1+cosu}{2sinu}$（x-4），解得x_M=4cosu，y_M=2sinu，
∴m=4cosu，n=2sinu，
∴$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$．
（3）解：|QM|的最小值=|y_M|=2|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴|sinu|=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinu=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosu=±$\frac{3}{4}$．此时QM⊥x轴，a=x_M=±3，∴Q（±3，0）．

点评 本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．