Question

9．已知m为常数，函数f（x）=xlnx-mx²有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则f（x₁）[2f（x₂）+1]的符号为（　　）

• A． 负
• B． 正
• C． 零
• D． 不确定

Answer 1

分析 依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x₁，x₂（x₁＜x₂），求出导数，讨论m 的范围，求得函数m（x）的单调性，得到函数f（x）在x₁处取极小值，在x₂处取极大值，从而求出结论．

解答 解：∵函数f（x）=xlnx-mx²有两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂），
当m=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，
解得x=$\frac{1}{e}$，∴f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
当m≠0时，f′（x）=lnx-2mx+1=0，
m=$\frac{lnx+1}{2x}$，
设m（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，
令m′（x）=-$\frac{2lnx}{{4x}^{2}}$=0，解得：x=1，
当0＜x＜1时，m′（x）＞0，当x＞1时，m′（x）＜0，
∴m（x）在x=1处取极大值$\frac{1}{2}$，
又∵x→+∞时，m（x）→0
∴当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）=lnx-2mx+1=0必存在二个解
即函数f（x）有两个极值x₁，x₂，（x₁＜x₂），
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，
函数f（x）在x₁处取极小值，在x₂处取极大值，
又∵当m=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=lnx-x+1=0，∴x=1，f（1）=-$\frac{1}{2}$，
当m=0时，f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取极小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）时，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-$\frac{1}{2}$，
故f（x₁）[2f（x₂）+1]的符号为负，
故选：A．

点评 本题考查导数的运用，考查函数的单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．