Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{a+b+c}$．

Answer 1

分析 利用分析法结合等差数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理即可证明．

解答 证明：要证$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$，
只需证（b+c）（a+b+c）+（a+b）（a+b+c）=3（a+b）（b+c），
即只需证a²-b²+c²-ac=0，①
又在△ABC中，角A、B、C的度数成等差数列，
有B=60°，则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
即a²-b²+c²-ac=0，即 ①式显然成立，从而得证．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，分析法是由未知探需知，逐步推向已知，属于中档题．