Question

11．在四面体A-BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动，（点P不与A，M重合），过点P做直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q．给出下列命题，其中正确的是①②
①BC⊥平面AMD
②点Q一定在直线DM上
③V_C-AMD=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用线面垂直的判定判断①；由面面垂直的判定得到平面ABC⊥平面AMD，再由面面垂直的性质判断②；直接求出V_C-AMD判断③．

解答 解：如图，

∵四面体A-BCD的所有棱长相等，
∴四面体为正四面体，
又M为BC的中点，
∴AM⊥BC，DM⊥BC，则BC⊥平面AMD，故①正确；
∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面AMD，又平面AMD∩平面ABC=AM，且PQ⊥AM，
由平面与平面垂直的性质可得，PQ?平面AMD，则点Q一定在直线DM上，故②正确；
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{3}$，四棱锥的高h=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4}{3}\sqrt{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴V_C-AMD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×$$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，故③错误．
∴正确的命题是①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．