Question

16．如图，AB是圆O的直径，AC是弦，直线EF和圆O相切于点C．AD⊥EF，垂足为D，直线EF交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：∠BAC=∠DAC；
（Ⅱ）若OB=2，AD=1，求证：$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC，证明∠ACD=∠B，即可证明∠BAC=∠DAC；
（Ⅱ）若OB=2，AD=1，证明AC=2AD，因为AD⊥CE，所以∠ACD=30°．故BC=CF，因为CF与圆O相切，由切割线定理得CF²=AF•BF，即可证明：$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．

解答 证明：（Ⅰ）连接BC，
因为AB是圆O的直径，
所以∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，
因为AD⊥CE，所以∠ACD=∠DAC=90°，
因为AC是弦，且直线CE和圆O切于点C，
所以∠ACD=∠B，
所以∠DAC=∠BAC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC∽△ACD，所以$\frac{AC}{BA}$=$\frac{AD}{AC}$，
由此得AC²=AB•AD，
因为OB=2，AD=1，所以AB=4，求AC²=AB•AD=4×1=4，所以AC=2．
又AD=1，故AC=2AD，
因为AD⊥CE，所以∠ACD=30°．
故BC=CF，因为CF与圆O相切，由切割线定理得CF²=AF•BF，
所以BC²=AF•BF，
即$\frac{BC}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$．                                            …（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．