Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，
求①二面角E-AF-D的二面角的余弦值；
   ②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据CD∥平面ABEF即可得出CD∥EF，结合CD∥AB得出结论；
（2）①以AD的中点O为原点建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面ADF的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小；
②假设存在H符合条件，设$\overrightarrow{CH}$=λ$\overrightarrow{CP}$，求出$\overrightarrow{BH}$，令cos＜$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$解出λ即可得出结论．

解答 解：（1）证明：∵CD∥AB，AB?平面ABEF，CD?平面ABEF，
∴CD∥平面ABEF，
又CD?平面PCD，平面PCD∩平面ABEF=EF，
∴CD∥EF．又CD∥AB，
∴AB∥EF．
（2）取AD的中点O，连结PO，OB，BD．
∵ABCD是菱形，且∠ABC=120°，PA=PD=AD．
∴△ABD，△PAD是等边三角形，
∴PO⊥AD，OB⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A=（0，-1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，2，0），
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
①$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，3），
∵OB⊥平面PAD，
∴$\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{3}$，0，0）为平面PAD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角E-AF-D的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
②假设PC上存在点H使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，
则$\overrightarrow{BH}$与$\overrightarrow{n}$所成夹角为30°，
设$\overrightarrow{CH}$=λ$\overrightarrow{CP}$=（-$\sqrt{3}$λ，-2λ，$\sqrt{3}λ$）（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{BH}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}$=（-$\sqrt{3}λ$，2-2λ，$\sqrt{3}λ$）．
∴cos＜$\overrightarrow{BH}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BH}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}λ-2\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{10{λ}^{2}-8λ+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简得19λ²-12λ-6=0，解得λ=$\frac{6+5\sqrt{6}}{19}$或λ=$\frac{6-5\sqrt{6}}{19}$（舍）
∴线段PC上存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，

点评 本题考查了线面平行的性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题．