Question

7．已知函数f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$cos2x-1，且给定条件p：x＜$\frac{π}{4}$或x＞$\frac{π}{2}$，x∈R，若条件q：-3＜f（x）-m＜3，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先由题意可得在$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$的条件下，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$恒成立，再根据两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，再结合正弦函数的性质可求出f（x）的范围，继而得到只需$\left\{\begin{array}{l}{m＞5-3}\\{m＜3+3}\end{array}\right.$成立，解得即可．

解答 解：由条件q可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$，
∵￢p是q的充分条件，
∴在$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$的条件下，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$恒成立，
∵f（x）=2[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
又∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
即3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5，即3≤f（x）≤5，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{m＞5-3}\\{m＜3+3}\end{array}\right.$成立，
即2＜m＜6，
∴m的取值范围为（2，6）

点评 本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的性质．高考中对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意对基础知识的积累和运用的灵活性的锻炼．