Question

12．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积．

Answer 1

分析 将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积，求得AD，AC，由勾股定理可得CD，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求．

解答 解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，
已知正四面体棱长为2，
所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，AC=1，
在直角三角形ACD中，
CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
可得截面面积是：S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．