Question

2．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$（a为常数）．
（1）若函数y=f（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$．（e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值，f′（x）=0有不等的实根，其中至少一个在（e，+∞）内，令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，β＞e．即可求实数a的取值范围；
（2）确定函数f（x）在（0，α），（β，+∞）上单调递增，在（α，1），（1，β）上单调递减，可得f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），再构造函数，即可证明结论．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（2+a）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，函数f（x）在（e，+∞）内有极值，
∴f′（x）=0有不等的实根，其中至少一个在区间（e，+∞）内，
令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1．
不妨设β＞α，则α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴β＞e．
∴φ（0）=1＞0，
∴φ（e）=e²-（2+a）e+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
即实数a的取值范围是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）；
证明：（2）由上知，f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β，
∴函数f（x）在（0，α），（β，+∞）上单调递增，在（α，1），（1，β）上单调递减，
由x₁∈（0，1），得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{α}{α-1}$，
x₂∈（1，+∞），得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{β}{β-1}$，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
又αβ=1，α+β=a+2，β＞e
∴f（β）-f（α）=lnβ+$\frac{β}{β-1}$-（lnα+$\frac{α}{α-1}$）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
令H（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），
则H′（β）=（$\frac{1}{β}$+1）²＞0，
∴H（β）在（e，+∞）上单调递增，
∴H（β）＞H（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查函数的单调性，正确求导，确定函数的单调性是关键．