Question

7．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a²+b²-c²）tanC=$\sqrt{2}$ab．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，b=2$\sqrt{2}$，求边a的值及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出a，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）由已知得，$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}tanC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
则cosC•tanC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∴sinC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴C=$\frac{π}{4}$或C=$\frac{3π}{4}$．                                         …（6分）
（2）∵c=2，$b=2\sqrt{2}$，∴C=$\frac{π}{4}$，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得${c^2}={a^2}+{（2\sqrt{2}）^2}-2a•2\sqrt{2}•cos\frac{π}{4}$
整理得a²-4a+4=0，解得a=2，
△ABC面积为 $S=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}×2×2=2$．…（12分）

点评 本题考查余弦定理的应用，三角形的解法，面积的求法，考查计算能力．