Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanC=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求tanA；    
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）在△ABC中，由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B为锐角，可得tanB，又tanC=$\frac{1}{3}$，利用tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$即可得出．
（II） 0°＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°．在△ABC中，B，C均为锐角，可得cosB，tanC，sinB，sinC，再利用正弦定理可得a，即可得出△BAC的面积S=$\frac{1}{2}$acsin B．

解答 解：（I）在△ABC中，∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B为锐角，tanB=$\frac{1}{2}$，
又tanC=$\frac{1}{3}$，tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，
∴tanA=tan（180°-（B+C））=-tan（B+C），
故tanA=-1．
（II）∵0°＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°．
∴在△ABC中，B，C均为锐角，∵$cosB=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$tanC=\frac{1}{3}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinC=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$a=\sqrt{5}$．
故△BAC的面积为：S=$\frac{1}{2}$acsin B=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数就不关系式、和差公式、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．