Question

3．记数列{a_n}的前n项和为S_n，若存在实数M＞0，使得对任意的n∈N^*，都有|S_n|＜M，则称数列{a_n}为“和有界数列”．下列命题正确的是（　　）

• A． 若{a_n}是等差数列，且首项a₁=0，则{a_n}是“和有界数列”
• B． 若{a_n}是等差数列，且公差d=0，则{a_n}是“和有界数列”
• C． 若{a_n}是等比数列，且公比|q|＜1，则{a_n}是“和有界数列”
• D． 若{a_n}是等比数列，且{a_n}是“和有界数列”，则{a_n}的公比|q|＜1

Answer 1

分析 求出等差数列的前n项和公式，取d＞0即可判断A错误；举例首项不为0判断B错误；求出等比数列的前n项和，由绝对值不等式证明C正确；举例说明D错误．

解答 解：对于A，若{a_n}是等差数列，且首项a₁=0，当d＞0时，${S}_{n}=\frac{n（n-1）d}{2}=\frac{d{n}^{2}}{2}-\frac{dn}{2}$，当n→+∞时，|S_n|→+∞，
则{a_n}不是“和有界数列”，故A错误；
对于B，若{a_n}是等差数列，且公差d=0，S_n=na₁，当a₁≠0时，当n→+∞时，|S_n|→+∞，
则{a_n}不是“和有界数列”，故B错误；
对于C，若{a_n}是等比数列，且公比|q|＜1，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}}{1-q}-\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$，|S_n|=|$\frac{{a}_{1}}{1-q}-\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$|＜|$\frac{{a}_{1}}{1-q}$|+|$\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$|$＜2|\frac{{a}_{1}}{1-q}|$．
则{a_n}是“和有界数列”，故C正确；
对于D，若{a_n}是等比数列，且{a_n}是“和有界数列”，则{a_n}的公比|q|＜1或q=-1，故D错误．
故选：C．

点评 本题是新定义题，考查了等差数列和等比数列的应用，对题意的理解是解答此题的关键，属中档题．