Question

14．已知圆O：x²+y²=2，圆M：（x-a）²+（y-a+4）²=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A、B，使得四边形PAOB为正方形，则实数a的取值范围为[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．

解答 解：如图，圆O的半径为$\sqrt{2}$，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得四边形PAOB为正方形，
则∠APO=45°，在Rt△PAO中，PO=2，
又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a-4），
∴|PO|_min=|MO|-1，|PO|_max=|MO|+1，
∵|MO|=$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$，
∴由$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$-1≤2≤$\sqrt{{a}^{2}+（a-4）^{2}}$+1，
解得：2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：[$2-\frac{\sqrt{2}}{2}，2+\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题．