Question

8．已知正项数列{a_n}的奇数项a₁，a₃，a₅，…a_2k-1…构成首项a₁=1等差数列，偶数项构成公比q=2的等比数列，且a₁，a₂，a₃成等比数列，a₄，a₅，a₇成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$，T_n=b₁．b₂…b_n，求正整数k，使得对任意n∈N^*，均有T_k≥T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，设a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差为d，求出$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，继而得到通项公式，
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{3n+4}{{2}^{n+1}}$，判断出数列{b_n}单调性，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，
设a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差为d，
则a₃=1+d，a₅=1+2d，a₇=1+3d，a₄=2a₂，代入$\left\{\begin{array}{l}a_2^2=1（1+d）\\ 1+d=2{a_2}\end{array}\right.$，
又a₂＞0，
故解得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3n-1}{2}，n为奇数\\{2^{\frac{n}{2}}}，n为偶数\end{array}\right.$，
（Ⅱ）${b_n}=\frac{3n+1}{2^n}$，显然b_n＞0，
∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{\frac{3n+4}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{3n+1}{2^n}}}=\frac{3n+4}{6n+2}＜1$，
∴{b_n}单调递减，又${b_1}=2，{b_2}=\frac{7}{4}，{b_3}=\frac{10}{8}，{b_4}=\frac{13}{16}$，
∴b₁＞b₂＞b₃＞1＞b₄＞b₅＞…
∴k=3时，使得对任意n∈N^*，均有T_k≥T_n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．