Question

8．若m∈（4，7），则直线y=kx+k与圆x²+y²+mx+4=0至少有一个交点的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据圆的标准方程特征求得m＞4 或m＜-4，再根据直线y=kx+k经过定点（-1，0），而点（-1，0）在圆的内部或点在圆上，可得m的范围，再把所求得的这两个m的范围取交集，再利用几何概型计算即得所求．

解答 解：圆x²+y²+mx+4=0，即圆（x+$\frac{m}{2}$）²+y² =$\frac{{m}^{2}}{4}$-4，
∴$\frac{{m}^{2}}{4}$-4＞0，∴m＞4 或m＜-4．
∵直线y=kx+k经过定点（-1，0），直线与圆x²+y²+mx+4=0至少有一个交点，
∴点（-1，0）在圆的内部或点在圆上，故有（-1）²+0-m+4≤0，
解得m≥5．
综上可得，m≥5时，直线y=kx+k与圆x²+y²+mx+4=0至少有一个交点；
所以当m∈（4，7）时，直线y=kx+k与圆x²+y²+mx+4=0至少有一个交点的概率是
P=$\frac{7-5}{7-4}$=$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了直线经过定点的应用问题，也考查了直线和圆相交的条件以及几何概型的概率问题，是综合性题目．