Question

7．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（3）已知点A（-1，1），若点B在圆C上运动，P是AB的中点，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得圆心为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直线x+y-1=0上，且-$\frac{D}{2}$＜0，-$\frac{E}{2}$＞0，再根据半径等于$\sqrt{2}$，求得D、E的值，可得圆的方程．
（2）设直线方程为x+y+c=0，因为直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，求得c的值，可求得直线方程．
（3）设P（x，y），由中点公式可得B（2x+1，2y-1），再根据 B在圆C上，建立动点P的轨迹方程．

解答 解：（1）由题知，圆心为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直线x+y-1=0上，
即-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0，且-$\frac{D}{2}$＜0，-$\frac{E}{2}$＞0，
半径r=$\sqrt{{（-\frac{D}{2}）}^{2}{+（-\frac{E}{2}）}^{2}-3}$=$\sqrt{2}$，
解得D=2，E=-4，
所以圆心C为（-1，2），
∴圆C的标准方程为：（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）由题，直线在x轴、y轴上的截距相等，
故设直线方程为x+y+c=0，
因为直线与圆相切，
故有 $\frac{|-1+2+c|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得c=1或c=-3，
所以直线方程为 x+y+1=0 或x+y-3=0．
（3）由题意可设P（x，y），
因为P是AB的中点，
故B（2x+1，2y-1），
∵B在圆C上，
所以 （2x+1+1）²+（2y-1-2）²=4，
所以动点P的轨迹为 （x+1）²+${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，用代入法求轨迹方程，属于中档题．