Question

11．由正数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a＜b，那么1+$\frac{a}{b}$∈A．
（1）试问集合A能否恰有两个元素且$\frac{4}{3}$∈A？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由．
（2）试问集合A能否恰有三个元素？若能，请写出一个这样的集合A；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定b=3a，再利用集合A恰有两个元素且$\frac{4}{3}$∈A，a=$\frac{4}{3}$或b=$\frac{4}{3}$，即可得出结论；
（2）利用反证法，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，1+$\frac{a}{b}$=$\frac{4}{3}$，∴$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{3}$，∴b=3a，
∵集合A恰有两个元素且$\frac{4}{3}$∈A，
∴a=$\frac{4}{3}$或b=$\frac{4}{3}$，
∴b=4或a=$\frac{4}{9}$，
∴A={$\frac{4}{3}$，4}或B={$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{9}$}；
（2）由题意，3个元素为a，b，1+$\frac{a}{b}$，
若a＜b＜1+$\frac{a}{b}$，则1+$\frac{a}{1+\frac{a}{b}}$∈A，1+$\frac{b}{1+\frac{a}{b}}$∈A，
令1+$\frac{a}{1+\frac{a}{b}}$=a，可得a²-a-b=0，1+$\frac{b}{1+\frac{a}{b}}$=b，可得b²-b-a=0，
两方程相减可得a=b与已知矛盾，故集合A不能恰有三个元素．

点评 本题考查集合运算，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．