Question

20．已知数列A_n：a₁，a₂，…a_n（n∈N*，n≥2）满足a₁=a_n=0，当2≤k≤n（k∈N^*）时，（a_k-a_k-1）²=1，令S（A_n）=$\sum_{i=1}^{n}$a_i．
（1）直接写出S（A₅）的所有可能的值；
（2）求证：S（A_2k+1）的最大值为k²，其中k∈N^*；
（3）记S（A_n）的所有可能的值构成的集合为Г_n，若0∈Г_n，求出n（n≥2）的所有取值构成的集合．

Answer 1

分析 （1）由题设，即可满足条件的数列A₅的所有可能情况．
（2）由题设，确定c₁，c₂，…，c_n-1的由前$\frac{n-1}{2}$项取1，后$\frac{n-1}{2}$项取-1时，S（A_n）最大，S（A_n）=（n-1）+（n-2）+…+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{2}+$…
+2+1）=${\frac{（n-1）}{4}}^{2}$，即可得到S（A_2k+1）的最大值．
（3）由（2）可知，如果c₁，c₂，…，c_n-1的前$\frac{n-1}{2}$项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，c₁，c₂，…，c_n-1的后$\frac{n-1}{2}$项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，
从（1）问发现：前4，5项和出现0∈Г_n；由前8，9项和出现0，此可知数列确定0∈Г_n时，n（n≥2）的所有取值构成的集合．

解答 解：（1）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A₅）=4；（2）0，1，0，1，0．此时S（A₅）=2；（3）0，1，0，-1，0．此时S（A₅）=0；（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A₅）=-4；（5）0，-1，0，1，0．此时S（A₅）=0；（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A₅）=-2；
所以，S（A₅）的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4
（2）由，（a_k-a_k-1）²=1
可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
因为a_n-a_n-1=c_n-1，所以 a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由$\frac{n-1}{2}$个1和$\frac{n-1}{2}$个-1构成的数列．
所以S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1．
则当c₁，c₂，…，c_n-1的由前$\frac{n-1}{2}$项取1，后$\frac{n-1}{2}$项取-1时S（A_n）最大，此时
S（A_n）=（n-1）+（n-2）+…+$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{2}+$…+2+1）=${\frac{（n-1）}{4}}^{2}$
∴S（A_2k+1）的最大值为k²．
（3）记S（A_n）的所有可能的值构成的集合为Г_n，
由题意a₁=a_n=0，当2≤k≤n（k∈N^*）时，（a_k-a_k-1）²=1，∴a_k-a_k-1=±1
有（1）问可知，数列A_n：a₁，a₂，…a_n，对应等于0，1，0，-1，…（n∈N*，n≥2）时，
前4或5项和出现0，前8或9项和出现0，前12或13项和出现0，
此可知数列n=4/5，n=8/9…．记S（A_n）的所有可能的值构成的集合为Г_n，
若0∈Г_n，n（n≥2）的所有取值构成的集合为{n∈N^*|4n或4n+1}（n≥2）．

点评 本题主要考查数列的最值的求解，利用递推数列求出数列的通项公式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．