Question

3．已知在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ.\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t.\end{array}\right.$（t为参数），曲线C与直线l相交于点A，B，且定点P的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数的关系消参数θ得出普通方程；
（II）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，
化简得：5t²+4t-12=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{12}{5}$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属于中档题．