Question

6．设函数f（x）=|2x+1|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）当a＜$-\frac{1}{2}$时，对于?x∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1））令|2x+1|=0，解得x=-$\frac{1}{2}$，令|x-2|=0，解得x=2．对x分类讨论即可得出．
（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤$-\frac{1}{2}$时，g（x）=|x-a|-x-1，由a$＜-\frac{1}{2}$，可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，对于?x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，利用图象，即可得出．

解答 解：（1））令|2x+1|=0，解得x=-$\frac{1}{2}$，令|x-2|=0，解得x=2．
当x≥2时，原不等式化为：2x+1+x-2＜4，解得x$＜\frac{5}{3}$，此时无解；
当$-\frac{1}{2}$＜x＜2时，原不等式化为：2x+1+2-x＜4，解得x＜1，可得$-\frac{1}{2}$＜x＜1；
当$x≤-\frac{1}{2}$时，原不等式化为：-2x-1+2-x＜4，解得x＞-1，可得-1＜x≤$-\frac{1}{2}$．
综上可得：原不等式的解集为{x|-1＜x＜1}．
（2）令g（x）=f（x）+x，当x≤$-\frac{1}{2}$时，g（x）=|x-a|-x-1，由a$＜-\frac{1}{2}$，
可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，对于?x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，
使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，
作出g（x）的图象，可得：[g（x）]min=g（a）=-a-1，
∴-a-1≥3，可得a≤-4．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、不等式的解法、数形结合方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．