Question

已知不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集为A，函数f(x)=lg

x-2

x+2

的定义域为B．
（1）若a=2，求A∩B；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集为A，知A={x||x-1|≤a（a＞0）}={x|1-a≤x≤1+a}，由函数f(x)=lg

x-2

x+2

的定义域为B，知B={x|

x-2

x+2

＞0}={x|x＞2，或x＜-2}．由此能求出a=2时A∩B．
（2）由（1）知A={x|1-a≤x≤1+a}，B={x|x＞2，或x＜-2}，由A∩B=∅，知

1+a≤2 1-a≥-2

，由此能求出a的范围．

解答：解：（1）∵不等式|x-1|≤a（a＞0）的解集为A，
∴A={x||x-1|≤a（a＞0）}={x|1-a≤x≤1+a}，
∵函数f(x)=lg

x-2

x+2

的定义域为B，
∴B={x|

x-2

x+2

＞0}={x|x＞2，或x＜-2}．
若a=2时，则A={x|-1≤x≤3}，
∴A∩B={x|2＜x≤3}．
（2）由（1）知A={x|1-a≤x≤1+a}，B={x|x＞2，或x＜-2}，
∵A∩B=∅，
∴

1+a≤2 1-a≥-2

，结合题设条件a＞0解得0＜a≤1．
故a的范围是（0，1]．

点评：本题考查a=2时求A∩B和若A∩B=∅，求a的取值范围，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．