【题目】在如图所示的多面体中,平面平面
,四边形
为边长为2的菱形,
为直角梯形,四边形
为平行四边形,且
,
,
.
(1)若,
分别为
,
的中点,求证:
平面
;
(2)若,
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,转化成证明平面
,再转化成证明
和
.(2)第(2)问,先利用几何法找到
与平面
所成角,再根据
与平面
所成角的正弦值为
求出
再建立空间直角坐标系,求出二面角
的余弦值.
试题解析:
(1)连接,因为四边形
为菱形,所以
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
.
又平面
,所以
.
因为,所以
.
因为,所以
平面
.
因为分别为
,
的中点,所以
,所以
平面
(2)设,由(1)得
平面
.
由,
,得
,
.
过点作
,与
的延长线交于点
,取
的中点
,连接
,
,如图所示,
又,所以
为等边三角形,所以
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,故
平面
.
因为为平行四边形,所以
,所以
平面
.
又因为,所以
平面
.
因为,所以平面
平面
.
由(1),得平面
,所以
平面
,所以
.
因为,所以
平面
,所以
是
与平面
所成角.
因为,
,所以
平面
,
平面
,因为
,所以平面
平面
.
所以,
,解得
.
在梯形中,易证
,分别以
,
,
的正方向为
轴,
轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
,
由,及
,得
,所以
,
,
.
设平面的一个法向量为
,由
得
令
,得m=(3,1,2)
设平面的一个法向量为
,由
得
令
,得
.
所以
又因为二面角是钝角,所以二面角
的余弦值是
.
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【题目】设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,<φ<
)的图象关于直线
对称,它的最小正周期为π,则( )
A. f(x)的图象过点(0,) B. f(x)在
上是减函数
C. f(x)的一个对称中心是 D. f(x)的一个对称中心是
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【题目】某小区要建一个八边形的休闲区,如图所示,它的主要造型平面图是由两个相同的矩形和
构成的面积为
的十字形区域.计划在正方形
上建一个花坛,造价为4200元/
,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺设花岗岩地面,造价为210元/
,再在四个等腰直角三角形上铺设草坪,造价为80元/
.求当
的长度为多少时,建设这个休闲区的总价最低.
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【题目】在甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于120分为优秀,120分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的2×2列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按95%的可能性要求,能否认为“成绩与班级有关系”?
P(K2≥x0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
x0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式及数据:K2=.
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【题目】判断下列命题的真假并说明理由.
(1)某个整数不是偶数,则这个数不能被4整除;
(2)若,且
,则
,且
;
(3)合数一定是偶数;
(4)若,则
;
(5)两个三角形两边一对角对应相等,则这两个三角形全等;
(6)若实系数一元二次方程满足
,那么这个方程有两个不相等的实根;
(7)若集合,
,
满足
,则
;
(8)已知集合,
,
,如果
,那么
.
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【题目】已知抛物线(
),直线
与抛物线
交于
(点
在点
的左侧)两点,且
.
(1)求抛物线在
两点处的切线方程;
(2)若直线与抛物线
交于
两点,且
的中点在线段
上,
的垂直平分线交
轴于点
,求
面积的最大值.
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【题目】设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
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【题目】四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
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