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(2011•奉贤区二模)(理)已知函数f(x)=
.
sinxcosx
-sinαcosα
.
g(x)=
.
cosxsinx
sinβcosβ
.
,α,β是参数,x∈R,α∈(-
π
2
π
2
)
β∈(-
π
2
π
2
)

(1)若α=
π
4
,β=
π
4
,判别h(x)=f(x)+g(x)的奇偶性;
α=-
π
4
,β=
π
4
,判别h(x)=f2(x)+g2(x)的奇偶性;
(2)若α=
π
3
,t(x)=f(x)g(x)是偶函数,求β;
(3)请你仿照问题(1)(2)提一个问题(3),使得所提问题或是(1)的推广或是问题(2)的推广,问题(1)或(2)是问题(3)的特例.(不必证明命题)
将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性,给予不同的评分.
分析:(1)根据二阶行列式的运算分别求得函数f(x)、g(x),分别求出α=
π
4
,β=
π
4
,(x)=f(x)+g(x)和α=-
π
4
,β=
π
4
,h(x)=f2(x)+g2(x)的解析式,即可判定其奇偶性;
(2)α=
π
3
,求出t(x)=f(x)g(x)的解析式,法一:利用积化和差公式,把t(x)=sin(x+
π
3
)•cos(x+β)
化简为t(x)=
1
2
[sin(2x+β+
π
3
)+sin(
π
3
-β)]
,根据函数为偶函数,即可求得β的值;法2:利用偶函数的定义,可以直接求出β的值;法3:特殊值法,根据函数是偶函数,可得到t(
π
3
)=t(-
π
3
)
,解此方程即可求得β的值;
(3)根据问题(1)(2)即可以写出以下结果:写出任何一种的一个(加法或乘法)均可以.
解答:(理)解:(1)f(x)=sinx-cosα+cosx-cosα,g(x)=cosx•cosα-sinx•sinα
f(x)=sin(x+α),g(x)=cos(x+β)
h(x)=sin(x+
π
4
)+cos(x+
π
4
)=
2
sin(x+
π
2
)=
2
cosx

所以h(x)是偶函数                                                  
h(x)=sin2(x-
π
4
)+cos2(x+
π
4
)=
1-cos(2x-
π
2
)
2
+
1+cos(2x+
π
2
)
2

=
1-sin2x+1-sin2x
2
=1-sin2x

所以h(x)是非奇非偶函数       
(2)方法一(积化和差):t(x)=f(x)•g(x)为偶函数,
t(x)=sin(x+
π
3
)•cos(x+β)=
1
2
[sin(2x+β+
π
3
)+sin(
π
3
-β)]

t(x)=f(x)•g(x)为偶函数,所以sin(2x+β+
π
3
)
是偶函数,
β+
π
3
=kπ+
π
2
β∈(-
π
2
π
2
)

β=
π
6

方法二(定义法):t(x)=f(x)•g(x)为偶函数
所以t(x)=t(-x),sin(x+
π
3
)cos(x+β)=sin(-x+
π
3
)cos(-x+β)

展开整理sinx•cosx•(cosβ-
3
sinβ)=0
对一切x∈R恒成立           
tanβ=
3
3
β∈(-
π
2
π
2
)

β=
π
6

方法三(特殊值法):t(x)=f(x)•g(x)为偶函数
所以t(x)=t(-x),sin(x+
π
3
)cos(x+β)=sin(-x+
π
3
)cos(-x+β)

t(
π
3
)=t(-
π
3
)

所以sin(
π
3
+
π
3
)cos(
π
3
+β)=sin(-
π
3
+
π
3
)cos(-
π
3
+β)=0

cos(
π
3
+β)=0
β∈(-
π
2
π
2
)

β=
π
6

(3)第一层次,写出任何一种的一个(加法或乘法)均可以,
1、α+β=
π
2
,f(x)+g(x)是偶函数;           2、α+β=-
π
2
,f(x)+g(x)是奇函数;
3、α-β=
π
2
,f(x)+g(x)是非奇非偶函数;      4、α-β=-
π
2
,f(x)+g(x)既奇又偶函数
第二层次,写出任何一种的一个(加法或乘法)均可以,
1、α+β=
π
2
,f3(x)+g3(x)是偶函数;(数字不分奇偶)  
2、α+β=-
π
2
,f5(x)+g5(x)是奇函数α+β=-
π
2
,f4(x)+g4(x)是偶函数(数字只能同奇数)
3、α-β=
π
2
,f5(x)+g5(x)是非奇非偶函数(数字不分奇偶,但求相同)
4、α-β=-
π
2
,f3(x)+g3(x)是既奇又偶函数   (数字只能奇数)
α-β=-
π
2
,f2(x)+g2(x)是非奇非偶函数
第三层次,写出逆命题任何一种的一个(加法或乘法)均可以,
1、f3(x)+g3(x)是偶函数(数字不分奇偶,但相同),则α+β=
π
2

2、f5(x)+g5(x)是奇函数(数字只能正奇数),则α+β=-
π
2

f2(x)+g2(x)是偶函数(数字只能正偶数),则α+β=-
π
2

3、f3(x)+g3(x)是偶函数 (数字只能正奇数),则α-β=-
π
2

第四层次,写出充要条件中的任何一种均可以,(16分)
1、α+β=
π
2
的充要条件是f(x)+g(x)是偶函数
2、f5(x)+g5(x)是奇函数(数字只能正奇数)的充要条件是α+β=-
π
2

f2(x)+g2(x)是偶函数(数字只能正偶数)的充要条件是α+β=-
π
2

3、f3(x)+g3(x)是偶函数 (数字只能正奇数)的充要条件是α-β=-
π
2

第五层,写出任何一种均可以(逆命题,充要条件等均可以,限于篇幅省略)
1、α+β=
π
2
,n∈N*时,fn(x)+gn(x)都是偶函数
2、α+β=-
π
2
,n∈N*时,n是正奇数,fn(x)+gn(x)是奇函数
α+β=-
π
2
,n∈N*时,n是正偶数,fn(x)+gn(x)是偶函数
3、α-β=-
π
2
,n∈N*时,n奇数,fn(x)+gn(x)是既奇又偶函数
4、α-β=-
π
2
,n∈N*时,n偶数,fn(x)+gn(x)是非奇非偶函数
点评:本题考查函数的奇偶性的判定,题目设置新颖,特别是问题(3)的设置,侧重与对于知识的灵活应用,分析、归纳、总结能力的考查,属中档题.
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3n(n+1)
3n(n+1)
个平方单位.

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(2011•奉贤区二模)已知|
a
|=|
b
|=2,
a
b
的夹角为
π
3
,则
b
a
上的投影为
1
1

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x≥0
y≥0
x
3a
+
y
4a
≤1
z=
y+1
x+1
的最小值为
1
4
,则a的值
1
1

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10
10

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