Question

17．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a₁=0，则该数列的前100项的和等于（　　）

• A． 24
• B． 25
• C． 74
• D． 75

Answer 1

分析 利用递推关系可得数列的周期性，即可得出．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-{a_n}^2}$，且a₁=0，
∴a₂=$\frac{1}{2}+0$=$\frac{1}{2}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，a₄=$\frac{1}{2}$，…，
∴a_2n=$\frac{1}{2}$，a_2n+1=1．
则该数列的前100项的和S₁₀₀=0+49+$\frac{1}{2}×50$=74．
故选：C．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．