Question

7．△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，其中b=2，cosA=$\frac{1}{3}$．
（1）若a=3，求边c；
（2）若$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，且|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得c²-$\frac{4}{3}$c-5=0，进而解得c的值．
（2）由已知及平面向量的运算可得${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，利用平面向量数量积的运算代入计算可得3c²+2c-21=0，进而解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b=2，cosA=$\frac{1}{3}$，a=3，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：9=4+c²-2×2c×$\frac{1}{3}$，即c²-$\frac{4}{3}$c-5=0，
∴解得：c=3．…4分
（2）由$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，可得：$\overrightarrow{AD}$$-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，可得：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，…6分
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{9}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，…8分
∴$\frac{32}{9}$=$\frac{4}{9}$c²+$\frac{4}{9}$+$\frac{4}{9}$×$2c×\frac{1}{3}$，即3c²+2c-21=0，解得：c=$\frac{7}{3}$，…10分
∴S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{14\sqrt{2}}{27}$．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，平面向量的运算，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．