Question

6．设函数f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+b（a＞0），当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）最大值是1，最小值是-3．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）的单调减区间和对称中心．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出满足条件的x的取值范围，即可求出a，b的值．
（2）求出函数的解析式，结合函数的单调性和对称性即可得到函数的单调递减区间．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
则有：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
又∵a＞0，且当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，最大值为1，最小值为-3
∴2a+a+b=1，2a×（-$\frac{1}{2}$）+a+b=-3，
即3a+b=1且b=-3，
则a=$\frac{4}{3}$，b=-3．
（2）∵a=$\frac{4}{3}$，b=-3，
∴f（x）=$\frac{8}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{5}{3}$，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
即函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-$\frac{5}{3}$），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的最值性质的应用，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．