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    设数学公式
    （Ⅰ）证明f（x）在（-1，1）上是减函数；
    （Ⅱ）若f（x）的反函数为f-1（x），试证明方程f-1（x）=0只有唯一解；
    （Ⅲ）解关于x的不等式：数学公式＜数学公式．

    证明：（I）f（x）在（-1，1）上递减
    函数的定义域为解得x∈（-1，1）
    ∵＜0
    ∴f（x）在（-1，1）上递减
    （II）∵f（x）与f-1（x）的单调性相同
    ∴f-1（x）在定义域上递减
    ∵
    ∴
    ∴f-1（x）=0有解，且唯一
    （III）原不等式同解于
    ∵f（x）在（-1，1）上递减
    ∴解得
    或
    ∴解集为或．
    分析：（I）令分母不为0且真数大于0求出函数的定义域；利用导数的运算法则求出导函数，判断出导函数的符号，得证．
    （II）根据互为反函数的单调性相同，得到f-1（x）递减；求出f（0）的值，得到反函数有根，据单调证得根唯一．
    （III）将用f（0）代替，利用f（x）的单调性去掉法则f，注意定义域；解二次不等式组求出解集．
    点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．解抽象不等式应先将不等式化为f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
    （1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x1，x2；
    （2）若不等式f（x1）+f（x2）≤0成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
    （1）证明f（x）在[-1，1]上是减函数；
    （2）如果f（x-c），f（x-c2）的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
    （3）证明：若-1≤c≤2，则f（x-c），f（x-c2）存在公共的定义域，并求出这个公共的定义域．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
    （I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
    （II）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．
    证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后的等差数列，并求x4．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•闸北区一模）已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域）等式f(kx)=
    k
    2
    +f(x)    恒成立．
    （1）一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合A？请说明理由．
    （2）设函数f（x）=logax（a＞1）的图象与直线y=
    1
    2
    x    有公共点，试证明f（x）=logax∈A．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•汕头二模）定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
    （Ⅰ）令函数f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
    （Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在x0（-4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）当x，y∈N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

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