Question

已知在(

x

-

2

3 x

)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求n；
（2）求展开式中的所有有理项；
（3）求C_n¹+9C_n²+81C_n³+…+9^n-1C_nⁿ的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）根据在(

x

-

2

3 x

)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求出n的值．
（2）在通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的所有有理项．
（3）把要求的式子化为

C 0 10 +9 C 1 10 +92 C 2 10 +93 C 3 10 +…+910 C 10 10 -1

9

，再利用二项式定理求得结果．

解答： 解：（1）由题意可得，(

C

4 n

(-2)4)：(

C

2 n

(-2)2)=56：3，解得n=10．
（2）因为通项公式为：T_r+1=

C

r 10

•（-2）^r•x5-

5r

6

，令5-

5r

6

 为整数，r可取0，6，于是有理项为T1=x5和T₇=13400．
（3）10+9

C

2 10

+81

C

3 10

+…+910-1

C

10 10

=

9 C 1 10 +92 C 2 10 +93 C 3 10 +…+910 C 10 10

9

=

C 0 10 +9 C 1 10 +92 C 2 10 +93 C 3 10 +…+910 C 10 10 -1

9

=

(1+9)10-1

9

=

1010-1

9

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．