Question

如图，正方体AC₁中，E，F分别是A₁B₁，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线DB₁与EF所成角的大小；
（Ⅱ）求异面直线AD₁与EF所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后求出向量

DB1

，

EF

的坐标，求这两向量的夹角即能得到异面直线DB₁，EF所成角；
（Ⅱ）求出向量AD₁的坐标，然后求向量

AD1

，

EF

的夹角，这样即可得到异面直线AD₁，EF的夹角．

解答： 解：如图，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz；
设正方体的边长为1，则可确定以下几点坐标：
D（0，0，0），B₁（（1，1，1），E（1，

1

2

，1），F(

1

2

，1，1)，A（1，0，0），D₁（0，0，1）；
∴

DB1

=(1，1，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

AD1

=(-1，0，1)；
∴（Ⅰ）cos＜

DB1

，

EF

＞=

DB1 • EF

| DB1 || EF |

=0；
∴向量

DB1

，

EF

的夹角为90°；
∴异面直线DB₁，EF所成角为90°；
（Ⅱ）cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1 2

2 • 1 2

=

1

2

；
∴向量

AD1

，

EF

夹角为60°；
∴异面直线AD₁与EF所成角为60°．

点评：考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成角的方法，由点的坐标求向量的坐标，以及向量夹角的余弦公式的坐标运算．