Question

设函数f（x）=

ex-2

x

，g（x）=

2lnx

x

，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，则正数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：利用导数性质求出f（x）_min=

1

e

，g（x）_max=g（e）=

2

e

．由对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，得到

2k

e

≤（k+1）•

1

e

，由此能求出k的取值范围．

解答： 解：x＞0时，∵f（x）=

ex-2

x

，∴f′（x）=

(x-1)ex-2

x2

，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=

1

e

．
∵g（x）=

2lnx

x

，∴g′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
令g′（x）=0，得x=e．
当x∈（0，e），g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．
∴g（x）_max=g（e）=

2

e

．
∴对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），f（x）_min＜g（x）_max．
∵对任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式kg（x₁）≤（k+1）f（x₂）恒成立，
∴

2k

e

≤（k+1）•

1

e

，解得k≤1
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查了导数在函数的单调性，最值求解中的应用，函考查数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度．