Question

某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．

（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=6；
（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；
（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1-8，其中1-4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，
∴该小组有20÷0.25=80（人）
∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为
80×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=80×0.075=6（人）；
（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，
∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；
（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，
∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，
记得到成绩为A的8人编号为1-8，其中1-4号时两科成绩等级都是A的同学，
则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：
（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）
（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），
（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，
其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，
∴所求概率为P=

6

28

=

3

14

点评：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．