Question

设正△ABC的面积为2，边AB，AC的中点分别为D，E，M为线段DE上的动点，则

MB

•

MC

+

BC

2的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，设正三角形ABC的边长为a，则

3

4

a2=2，解得a2=

8

3

．则B（-

1

2

a，0），C（

1

2

a，0），D(-

1

4

a，

1

4

a)，E(

1

4

a，

1

4

a)．设

DM

=k

DE

（0≤k≤1）．可得

OM

=

OD

+k

DE

=(

1

2

ka-

1

4

a，

1

4

a)．

MB

=(-

1

2

ka-

1

4

a，-

1

4

a)，

MC

=(

3

4

a-

1

2

ka，-

1

4

a)，

BC

2=a²．可得

MB

•

MC

+

BC

2=

1

4

a2(k-

1

2

)2+

3

4

a2，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示，
设正三角形ABC的边长为a，则

3

4

a2=2，解得a2=

8

3

．
则B（-

1

2

a，0），C（

1

2

a，0），D(-

1

4

a，

1

4

a)，E(

1

4

a，

1

4

a)．
设

DM

=k

DE

（0≤k≤1）．
∴

OM

=

OD

+k

DE

=(-

1

4

a，

1

4

a)+k(

1

2

a，0)=(

1

2

ka-

1

4

a，

1

4

a)．
∴

MB

=(-

1

2

ka-

1

4

a，-

1

4

a)，

MC

=(

3

4

a-

1

2

ka，-

1

4

a)，
∴

MB

•

MC

+

BC

2=(-

1

2

ka-

1

4

a)(

3

4

a-

1

2

ka)+

1

16

a2+a²
=a2(

1

4

k2-

1

4

k-

3

16

)+a²
=

1

4

a2(k-

1

2

)2+

3

4

a2，
当k=

1

2

时，

MB

•

MC

+

BC

2的最小值为

3

4

a2=

3

4

×

8

3

=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了向量的线性运算、数量积运算、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．