Question

已知偶函数f（x）满足f（x+1）=-

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f(x)

，且当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据f（x+1）=-

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f(x)

，可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log_a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）满足f（x+1）=-

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f(x)

，故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
由于函数g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log_a（x+2）有4个交点，
所以可得1≥log_a（3+2），
∴实数a的取值范围是[5，+∞）．
故答案为：[5，+∞）．

点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．