Question

设函数f（x）=x²+2x-m，
（1）当m=3时，求函数f（x）的零点；
（2）当m=3时，判断g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2的奇偶性并给予证明；
（3）当x∈[1，+∞]时，f（x）≥0恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）当m=3时，化简并令f（x）=x²+2x-3=0，从而解得；
（2）化简g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2；从而确定函数的定义域，再可判断g（-x）=-g（x），从而证明为奇函数；
（3）配方得，f（x）=（x+1）²-m-1，从而化为m≤（x+1）²-1恒成立；再令g（x）=（x+1）²-1，对称轴为x=-1，从而求g（x）_min即可．

解答： 解：（1）当m=3时，由f（x）=x²+2x-3=0解得x=-3或x=1，
所以函数f（x）的零点是-3和1；
（2）证明：由（1）知，f（x）=x²+2x-3，
g（x）=

f(x)

x

+log₂

1-x

1+x

-2=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2；
由

x≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，0）∪（0，1），
故g（x）的定义域关于原点对称；
又g（x）=

x2+2x-3

x

+log₂

1-x

1+x

-2=x-

3

x

+log₂

1-x

1+x

，
g（-x）=-（x-

3

x

+log₂

1-x

1+x

），
故g（-x）=-g（x），
故g（x）是奇函数．
（3）配方得，f（x）=（x+1）²-m-1，
∵x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，
即（x+1）²-m-1≥0恒成立，即m≤（x+1）²-1；
令g（x）=（x+1）²-1，对称轴为x=-1，
则g（x）_min=g（1）=4-1=3，
∴m≤3，故m的最大值为3．

点评：本题考查了二次函数的性质的应用及函数的奇偶性的判断与应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．