Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1-log₂（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x-2）f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性结合函数的单调性，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：∵f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）=f（x+4），函数f（x）是以4为周期的函数，
∵0＜x＜2时，f（x）=1-log₂（x+1），
∴-2＜x＜0时，f（x）=

log

(1-x) 2

-1，
∴2＜x＜4时，f（x）=

log

5-x 2

-1，
当0＜x＜2时，有

x-2＜0 f(x)=1 -log (x+1) 2 ＜0

，解得：1＜x＜2，
当2＜x＜4时，有

x-2＞0 log (1-x+4) 2 -1＞0

，解得：2＜x＜3，
故答案为：（1，2）∪（2，3）．

点评：本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性，是一道中档题．