Question

如图的正方形ABCD边长为1，P，Q为线段BC，CD上的动点，设∠PAB=θ，且tanθ=t，∠PAQ=45°．
（1）试用t表示线段PQ；
（2）探究△QAP的周长是否为定值；
（3）试求四边形APCQ面积的最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，
（2）设△QAP的周长为l，l=CP+CQ+PQ，然后推出△CPQ的周长l为定值，
（3）设四边形APCQ面积为S，S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，利用基本不等式求出最值．

解答： 解：（1）∵∠PAB=θ，且tanθ=t，∠PAQ=45°，正方形ABCD边长为1
∴BP=t，0≤t≤1，∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=

1-t

1+t

，
∴CQ=1-

1-t

1+t

=

2t

1+t

，
∴PQ=

CP2+CQ2

=

(1-t)2+( 2t 1+t )2

=

1+t2

1+t

．
（2）设△QAP的周长为l，
l=CP+CQ+PQ
=1-t+

2t

1+t

+

1+t2

1+t

=1-t+1+t=2．
∴△QAP的周长为定值．
（3）设四边形APCQ面积为S，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1-

t

2

-

1

2

•

1-t

1+t

=2-

1

2

（t+1+

2

t+1

）
≤2-

2

．
当t=

2

-1时取等号，
故四边形APCQ面积的最大值为2-

2

．

点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．