Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=-x²+bx-10，且直线y=4x-6是曲线y=g（x）的一条切线．
（1）求b的值；
（2）求与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）设出切点，求出导数，求得切线的斜率，结合切点在切线上和曲线上，满足方程，解方程可得b；
（2）设出切线方程y=kx+t，联立切线方程和抛物线方程，消去y，得到x的方程，由判别式为0，解方程即可得到k，t，进而得到切线的方程．

解答： 解：（1）g（x）=-x²+bx-10的导数为g′（x）=-2x+b，
设切点为（m，n），则切线的斜率为b-2m=4，
又n=4m-6，n=-m²+bm-10，
解得b=0或8；
（2）设与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程为y=kx+t．
由

y=kx+t y=x2

可得x²-kx-t=0，由相切的条件可得k²+4t=0，①
由

y=kx+t y=-x2-10

可得x²+kx+10+t=0，由相切的条件可得k²-4（10+t）=0，②
或由

y=kx+t y=-x2+8x-10

可得x²+（k-8）x+10+t=0，由相切的条件可得（k-8）²-4（10+t）=0，③
由①②解得k=±2

5

，t=-5；
由①③解得k=2，t=-1或k=6，t=-9．
当k不存在时，显然不成立．
则与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程为：
y=±2

5

x-5或y=2x-1或y=6x-9．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义以及直线与抛物线相切的条件，属于基础题．