Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是

m≤-87

．

Answer 1

分析：求导函数，确定极值点，利用a的范围，确定极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内，从而只要保证x=-2，x=

a

3

，x=2中的最小值，f（x））≤1就可以了．

解答：解：求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax-a²，
令f′（x）=0，即（3x-a）（x+a）=0，所以x=-a或x=

a

3

∵a∈[3，6]，x∈[-2，2]，
令导数大于0可得x＜-a或x＞

a

3

，令导数小于0可得-a＜x＜

a

3

，又-a≤-3，

a

3

∈[1，2]
∴极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内．
∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只要保证x=-2与x=2时的函数值f（x））≤1就可以了． 
∵f（-2）=-8+4a+2a²+m，f（2）=8+4a-2a²+m，a∈[3，6]，
作差比较得f（-2）＞f（2）
∴只要f（-2）≤1即可
即：）=-8+4a+2a²+m≤1，m≤-2a²-4a+9
由a∈[3，6]得，-2a²-4a+9的最小值为-87
∴m≤-87

点评：本题是利用导数求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，注意取值范围是关键．