Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，

AB

=

AD

，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB²=BE•CD．

Answer 1

分析：根据圆的切线，得到圆周角等于同弧所对的弦切角，根据圆内接四边形的性质，得到一个内角等于不相邻的内角，有两个角相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，把比例式转化为等式得到结果．

解答：证明：连接AC，
∵EA切⊙O于A，
∴∠EAB=∠ACB．
∵

AB

=

AD

，
∴∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABE=∠D．
∴△ABE∽△CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD．
∴AB²=BE•CD．

点评：本题考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查圆内接四边形的性质，考查两个三角形相似的判定和性质，是一个比较简单的综合题目．