Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：（Ⅰ）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；（Ⅱ）f（1）=4；（Ⅲ）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当时，f（x）＜3x+3．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=0可得，f（0）≥2f（0）-3
∴f（0）≤3
∵对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3
∴f（0）≥3
∴f（0）=3
（2）任取x₁＜x₂∈[0，1]
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3
由x₂-x₁＞0可得f（x₂-x₁）≥3
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4
∴函数的最大值为4
（3）证明：当时，f（x）≤f（1）=4=1+3
时，3x+3＞3×+3=4
∴f（x）＜3x+3
分析：（1）令x₁=x₂=0可得，f（0）≤3，结合已知可知f（0）≥3，从而可求f（0）
（2）任取x₁＜x₂∈[0，1]，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，则可得f（x）≤f（1），从而可求函数的最大值
（3）由已知可证，时，f（x）≤f（1）=4，3x+3＞4，可证
点评：本题主要考查了抽象函数利用赋值法求解函数的函数值，及利用构造法证明函数的单调性及由函数的单调性解不等式等知识的综合应用．