Question

【题目】已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，直线过点P（﹣2，0）

（1）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l的方程；

（2）若直线l与抛物线交于不同的两点A、B，求|FA|+|FB|的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y = 0 或 x y + 2 = 0 （2）(6, +∞)

【解析】

（1）当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k值，则直线方程可求.

（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得．

则|FA|+|FB|的取值范围可求．

（1）如图，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；

当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），

联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．

由△=（4k2﹣4）2﹣16k4=﹣32k2+16=0，解得k=．

∴直线方程为y=．

综上，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，

直线l的方程为：y=0或y=；

（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

当k≠0时，由△=﹣32k2+16＞0，得﹣＜k＜．

∴﹣＜k＜0或0＜k＜．

．

|FA|=，|FB|=，

则|FA|+|FB|=，

∵0，∴，则﹣2+＞6．

∴|FA|+|FB|的取值范围是（6，+∞）．