Question

11、定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x），满足f（x-1）=-f（x），且f（x）在[0，1]上是减函数．下
面五个关于f（x）的命题中，命题正确的个数有

4

个
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x=1对称；③f（x）在[-1，0]上是减函数；④f（x）在[1，2]上为增函数；⑤f（2）=f（0）．

Answer 1

分析：由题意先给x适当的值求出函数的周期和对称轴，进而判断出①②⑤正确，再根据偶函数图象的对称性判断在对称区间上的单调性相反，得到③正确而④不对．

解答：解：∵f（x-1）=-f（x），令x=x+1，得f（x）=-f（x+1）；
∴f（x-1）=f（x+1），则f（x）=f（x+2）
∴函数的周期是：T=2，函数的对称轴x=1；所以①②⑤正确．
∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，f（x）在[0，1]上是减函数，
∴f（x）在[-1，0]上是减函数；所以③正确．
∴f（x）在[1，2]上为为减函数，故④不正确．
故答案为：4．

点评：本题的考点是函数奇偶性和周期性的应用，根据所给的式子进行变形求出周期和对称轴，再由函数图象的对称性判断单调性，是综合性题．