Question

若定义在[-2013，2013]上的函数f（x）满足：对于任意的x₁，x₂∈[-2013，2013]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，f（x）的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为（　　）

A．2011

B．2012

C．4022

D．4024

Answer 1

分析：令x₁=x₂=0，可求得f（0）=2012；再利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数，f（x₁）+f（-x₁）=4024，从而可求M+N．

解答：解：令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-2012，
∴f（0）=2012，
令-2013≤x₁＜x₂≤2013，且x₂-x₁=t＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）+2012=2012-f（t）
∵t＞0，
∴f（t）＞2012，
∴2012-f（t）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上为单调递增函数．
令x₂=-x₁∈[-2013，2013]，
则由f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012得：f（0）=f（x₁）+f（-x₁）-2012=2012，
∴f（x₁）+f（-x₁）=4024．
∵函数f（x）在R上为单调递增函数，
∴M+N=f（-2013）+f（2013）=4024．
故选：D．

点评：本题考查抽象函数及其应用，先利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数是关键，也是难点，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．